Auf der Suche nach grenzwertigen Eigenschaften
„Konvergenzbegriffe für lineare Operatoren und Stabilitätsaussagen“ – so lautet der Titel der Doktorarbeit von Stammapostel in Ruhe Wilhelm Leber. Hier seine Erläuterung im Wortlaut.
Die Arbeit gehört in den Rahmen der Angewandten Mathematik, speziell der Funktionalanalysis. Mit den dort entwickelten Methoden ist es möglich, gewisse physikalische Phänomene zu beschreiben, speziell die Quantenmechanik.
Grundlegend für meine Arbeit ist der Begriff des Operators. Ein Operator bezeichnet eine Zuordnung von Elementen. Ein einfaches Beispiel: Wir ordnen jeder Zahl das 1/n-fache ihres Wertes zu, n ist dabei eine natürliche Zahl 1, 2, 3, usw. Somit entsteht eine (unendliche) Folge von Operatoren A1, A2, A3, usw. Wendet man diese Folge von Operatoren auf eine beliebige Zahl an, so erhält man eine immer kleiner werdende Zahl; mathematisch ausgedrückt: Diese Folge von Operatoren „konvergiert“ gegen den Operator A0: die Multiplikation mit 0.
Verwendet man allgemein-mathematische Begriffe, so ist der Sachverhalt nicht so einfach. Was bedeutet Konvergenz von Operatoren? In der mathematischen Literatur gibt es etliche Definitionen. In meiner Arbeit habe ich die unterschiedlichen Definitionen miteinander verglichen: Welche Definition ist enger, welche weiter?
Von Interesse ist auch die folgende Fragestellung: Wenn eine Folge von Operatoren A1, A2, A3, …..gegen einen Operator A0 konvergiert und die Operatoren A1, A2, A3, …..alle einheitlich eine bestimmte mathematische Eigenschaft haben, hat dann auch der Grenz-Operator A0 diese Eigenschaft (möglicherweise unter besonderen Bedingungen)? Erkenntnisse zu dieser Fragestellung werden in meiner Arbeit als „Stabilitätsaussagen“ bezeichnet.
Stabilitätsaussagen der genannten Art sind nicht nur von rein theoretischem Interesse, sondern haben auch einen gewissen Nutzen: Zuweilen ist es schwierig, eine bestimmte Eigenschaft eines Operators A0 nachzuweisen. Kann man aber eine Folge von Operatoren konstruieren, die allesamt bekanntermaßen diese Eigenschaft haben und die gegen A0 konvergieren, so ist unter Umständen gewährleistet, dass auch der Grenz-Operator A0 diese Eigenschaft hat.
