En busca de propiedades límite
“Conceptos de convergencia para operadores lineales y aseveraciones de estabilidad” es el título de la tesis doctoral del Apóstol Mayor en descanso Wilhelm Leber. Esta es su explicación textualmente.
El trabajo pertenece al marco de la Matemática aplicada, especialmente al análisis de funciones. Con los métodos desarrollados allí, es posible describir ciertos fenómenos físicos, especialmente la mecánica cuántica.
El concepto de operador es fundamental en mi trabajo. Se denomina operador a una asignación de elementos. Un ejemplo sencillo: Asignamos a cada número n, 1/n veces su valor, siendo n un número natural 1, 2, 3, etc. El resultado es una sucesión (infinita) de operadores A1, A2, A3, etc. Si se aplica esta sucesión de operadores a un número tan grande como se quiera, se obtiene un número cada vez más pequeño; expresado matemáticamente: esta secuencia de operadores “converge” hacia el operador A0: la multiplicación por 0.
Si se utilizan conceptos matemáticos generales, los hechos no son tan sencillos. ¿Qué significa la convergencia de operadores? Existen varias definiciones en la literatura matemática. En mi trabajo, comparé las diferentes definiciones entre sí: ¿Qué definición es más estrecha y cuál más amplia?
También es interesante la siguiente pregunta: Si una sucesión de operadores A1, A2, A3, ... converge hacia un operador A0 y los operadores A1, A2, A3, ... tienen todos una determinada propiedad matemática, ¿el operador límite A0 también tiene esta propiedad (posiblemente bajo condiciones especiales)? Las conclusiones sobre esta cuestión se denominan “aseveraciones de estabilidad” en mi trabajo.
Las aseveraciones de estabilidad del tipo mencionado no solo tienen un interés puramente teórico, sino que también tienen cierta utilidad. A veces es difícil demostrar una determinada propiedad de un operador A0. Sin embargo, si se puede construir una secuencia de operadores que se sabe que tienen esta propiedad y que convergen hacia A0, se puede garantizar que el operador límite A0 también tiene esta propiedad.
