À la recherche de propriétés limites
« Concepts de convergence pour les opérateurs linéaires et les énoncés de stabilité » – c’est le titre de la thèse de doctorat écrite par l’apôtre-patriarche en retraite Wilhelm Leber. Voici ses explications intégrales.
Cette thèse s’inscrit dans le cadre des mathématiques appliquées, en particulier de l’analyse fonctionnelle. Grâce aux méthodes développées dans ce domaine, il est possible de décrire certains phénomènes physiques, en particulier la mécanique quantique.
La notion d’opérateur est fondamentale pour mon travail. Un opérateur désigne une affectation d’éléments. Prenons un exemple simple : nous attribuons à chaque nombre 1/n fois sa valeur, n étant u nombre entier naturel tel que 1, 2, 3, etc. On obtient ainsi une suite (infinie) d’opérateurs tels que A1, A2, A3, etc. Si l’on applique cette suite d’opérateurs à un nombre quelconque, on obtient un nombre de plus en plus petit ; en termes mathématiques : cette suite d’opérateurs « converge » vers l’opérateur A0, la multiplication par 0.
Si l’on utilise des termes mathématiques généraux, les choses ne sont pas aussi simples. Que signifie la convergence des opérateurs ? Il existe de nombreuses définitions dans la littérature mathématique. Dans ma thèse, j’ai comparé les différentes définitions entre elles : quelle définition est plus étroite, quelle définition est plus large ?
La question suivante est également intéressante : Si une suite d’opérateurs A1, A2, A3, … converge vers un opérateur A0 et si les opérateurs A1, A2, A3, … ont tous uniformément une certaine propriété mathématique, l’opérateur limite A0 possède-t-il également cette propriété (éventuellement sous certaines conditions particulières) ? Dans ma thèse, les réponses à cette question sont appelées des « énoncés de stabilité ».
Les énoncés de stabilité de ce type n’ont pas seulement un intérêt purement théorique, ils ont aussi une certaine utilité : il est parfois difficile de démontrer une certaine propriété d’un opérateur A0. Cependant, si l’on peut construire une suite d’opérateurs qui possèdent tous, de façon connue, cette propriété et qui convergent vers A0, on peut éventuellement garantir que l’opérateur limite A0 possède également cette propriété.
